가끔 초∙중등 아이들에게 학원에 왜 다니냐고 질문을 하곤 한다.대부분 비슷한 대답을 하는데, 공부하려고, 혹은 공부를 잘하려고 다닌다고 표면적인 대답을 한다. 그러면 난 학원 안 다니면 공부를 못하는 거냐고, 잘할 수 없는 건지 말하며 한마디 더 묻는다. 진짜 솔직하게 답해보라고. 그러면 쭈뼛하며 대답한다. 엄마가 다니라고 해서요... 십중팔구 그 대답에 다들 동의한다. 실제로 초∙중등 아이들 중에 공부를 잘하고 싶은데, 학교 공부로는 모자라서 부모님께 학원에 다니고 싶다고 주장하는 아이가 몇이나 있을까? 아예 없진 않겠지만 매우 드문 일일 것이다. 내가 주로 말하는 기조가 그렇듯이 대부분의 일반적이고 보통의 머리를 가진 아이들 기준으로 학원에 다니는 두 가지 중요한 이유를 말하고자 한다. (1) 과제단..

앞선 퀴즈의 배경이 되는 개념을 이야기하고자 한다. 다소 이론적이며 재미없을 수도 있지만, 가끔은 진지한 수학 얘기도 필요하다고 생각한다. 예전에는 “평면분할이론”이라고 했었는데, 다시 검색해 보니, 잘 안 보인다. 아마도 이름이 바뀌었나 보다. 시작은 단순하다. 한 평면이 있고, 그 위에 직선들을 그을 때, 평면을 최대한 많은 수로 분할하는 방법은 무엇인지에 관한 질문이다. 우선, 지금 보이는 화면을 하나의 평면이라고 한다면, 직선을 하나 그어보면 다음과 같다. 직선은 양 끝으로 무한이 뻗어 나가므로, 이 직선에 의해 평면은 둘로 나뉘게 된다. 이번엔 직선 두 개로 하면 어떻게 될까? 이렇게 긋는다면 평면은 3개로 분할된다. 하지만, 질문은 최대한 많은 수로 분할하라고 했으니, 이는 정답이 아니다. 이..

수업시간에 가끔 내는 퀴즈를 올리고자 합니다. 맞춘다고 해서 상품이 있거나 그렇지는 않지만 재미삼아, 쉬어가는 코너의 역할로...^^ 이 퀴즈를 알게된 건 무려... 1994년 경. 뒤늦게 군대를 간 시절, 나보다 어린 선임병이 낸 것으로 기억합니다. 그 때 이런 저런 퀴즈를 나에게 내고 맞춰보라 했었는데, 거의 맞췄더니... 짜증을 내더군요...ㅋㅋ 암튼, 당시 문제 몇 개가 기억에 남아 있어서 아이들에게 가끔 내는데, 고민고민하며 풀어내는 모습이 재미있습니다. " 아래 그림에 직선 3개를 추가하여 최대한 많은 삼각형을 만들어 보시오. " 가 원래 문제인데, 너무 막연해서 살짝 변형했습니다. "독립적인 삼각형 9개를 만드시오." 여기서 독립적인 삼각형이란 말은, 옆의 그림에서 삼각형은 하나만 센다는 말..

앞선 글에서 수업과 공부를 구별하라는 이야기를 했고, 공부는 본인이 하는 것 즉, 과제를 하는 것이 공부라는 강조를 했다. 이제 과제를 하는 시점에 관한 이야기를 하고자 한다. 과제는 반드시 받은 날 당일에 완료할 수 있도록 학생의 습관을 만들어야 한다. 보통의 경우, 중학생 기준으로 볼 때 수학학원은 주 3일 혹은 주 2일 가고, 한번 가면 3~4시간 동안 수업+수업 혹은 수업+자습을 하고 온다. 주 3일 기준으로 월수금 또는 화목토를 가게 된다. 한편, 대부분의 아이들이 영어와 수학 학원을 다니는데, 수학 학원과 영어 학원이 서로 교차를 하도록 시간표를 구성한다. 월수금 영어학원이면 화목토 수학학원 뭐 이런 식으로 말이다. 거의 매일 각 학원에서 과제를 받게 된다. 그렇다면, 학생들은 받은 과제를 언..

보통 중학생의 경우, 학교에서 6교시 혹은 7교시를 하고 하교하게 된다. 그리고, 집에 와서는 얼마간의 시간 후에 학원에 가서 또 3~4시간의 수업을 받고 집에 오는데, 결코 만만치 않은 일정이다. 집에 오면 당연히 피곤할 수 있고, 부모님들도 아이들이 힘들게 수업받고 오는 것이 안쓰러워 토닥이며 반갑게 맞아준다. 이때, 흔한 부모님들의 멘트 또는 아이들의 멘트는 아마 "오늘 공부하느라 힘들었다"라는 류의 말일 것이다. 하지만, 나는 여기서 한 가지 짚고 넘어가야 할 것이 있다. 과연 아이들이 공부하느라 힘든 것일까? 공부라는 의미의 범위를 어디까지 확장하느냐에 따라 여러 가지 답이 나올 수 있지만, 나는 아니라고 본다. 분명 피곤할 수 있고, 지칠 수 있지만 공부가 아니라 수업 받느라 힘든 것이다. 그..

2023.12.05. 이 블로그에 독서의 카테고리가 있지만, 그와는 별개로 순수하게 수학과의 관계를 이야기하고자 한다. 수학공부에서 독서의 중요성 난 비록 수학강사이지만, 평소 학생들에게 독서의 중요성을 자주 강조하는 편이다. 실제로 수학보다 국어가 훨씬 더 중요한 과목이라고 말하곤 하는데, 이럴 때마다 학생들에게 나오는 의아하다는 표정이 재미있다. 학창 시절만이 아니라 삶 전체를 볼 때, 나는 국어(언어능력)의 영향력이 수학의 영향력보다 훨씬 크다고 생각한다. 수학을 잘한다면 자신이 원하는 삶에 분명히 유리할 수는 있지만, 수학을 못한다고 해서 인생을 사는데 어마무시한 결격사유가 되지는 않을 것이다. 수학 대신 다른 능력으로 얼마든지 자신이 원하는 삶을 꾸려 나갈 수가 있을 것이다. 하지만, 국어 즉 ..

2023.12.02. 무려 10년 만에 이어지는 글... 그간의 상황은 건너뛰고, 수학 공부법에 관한 글을 이어갈 생각이다. 공교육이건, 사교육이건 기본적인 태도가 불손한 아이들이 있을 수 있다. 본 글은 인성교육에 관한 글이 아니므로, 이러한 아이들의 태도를 논하는 것은 아님을 미리 밝힌다. 가끔 현장에서 중2나 중3 아이들을 수업하다 보면, 나름 열심히 공부하고 성적도 잘 나오는 아이들 중에 자세에 관한 지적을 받는 아이들이 있다. 예를 들어, 꾸부정한 자세로 앉아 있다 거나, 고개를 지나치게 많이 숙이거나 해서 바로잡아주려고 하면 싫은 내색 하며 자긴 이게 편하다는 둥 반박을 할 때가 있는데, 매우 부적절한 반응이다. 공부는 오래 해야 한다. 오래 하려면 바른 자세가 반드시 필요하다. 당장은 편하게..

지난 포스트에 이어지는 내용이다. 지난 포스트가 20분 고민하기였다. 혹시라도 오해가 없기를 바라는 마음에 중언부언일지 모르나 한 가지 밝힌다면, 이 주장은 모든 학생들을 대상으로 하지는 않고 있다. 적어도 공부를 열심히 하고자 마음먹었지만, 뭐를 어디서부터 어떻게 해야 할지 몰라서 힘들어하는 학생들을 대상으로 한다는 점을 확실히 밝혀두는 바이니, 케이스 바이 케이스로 태클 거는 일이 없기를 바란다. 최상위권 학생들이 고난이 문제집을 풀고자 할 때는 이 주장은 무의미해진다. 또한, 하위권 학생들이 기초적인 부분을 공부할 때도 마찬가지이다. 각각의 상황별 처방은 개별적으로 내려야 효과가 있을 것이다. 다만, 일반적인 적용법을 이야기하는 것이다. 지난 포스트 말미에 3권의 책을 1번 공부하는 것보다 1권의 ..

수학에 관심이 있는 사람이라면, 한 번쯤은 요즘 학생들의 수학실력이 과거에 비해 떨어지고 있다는 얘기를 들어봤을 것이다. 공부은 많아졌지만 실력이 떨어진다는 사실. 불편한 사실이 아닐 수 없다. 마치, 요즘 아이들이 체격은 커졌지만, 체력은 약하다는 사실과 비슷한 이야기라고도 할 수 있겠다. 그렇다면 왜 수학 실력이 떨어지는 것일까? 그 원인을 분석한다면, 그에 따른 대처법도 생겨나지 않을까? 필자는 학력고사 세대이다. 많이들 회자되고 있는 이야기이지만, 난이도만 본다면 학력고사보다 수능이 쉽다고 알려져 있다. 특히 수학에 있어서는 반대하는 의견이 별로 없을 것이라 믿는다. 그럼 대입시험에서 치르는 수학의 난이도가 낮아져서 요즘 학생들의 수학 실력이 떨어지는 걸까? 필자의 생각은 조금 다른 곳에서 원인을..

2014년 작성. 이 책은 정말 우연히 읽게 되었고, 빠르게 읽었다. 웹 검색을 하다가 어찌어찌하다보니 다산몰이란 곳에 가게 되었고, 거기서 무료로 보여주는 책이 여러 권 있었는데, 이 책에 눈이 가게 되어 클릭해서 읽게 되었다. 클릭한 이후, 단번에 3분의 2정도를 읽었고, 다음 날 나머지를 다 읽었다. 40대 중반으로서 정말 와 닿는 이야기였고, 부끄러운 나의 모습을 반성하게 해주는 내용이었다. 이 책에서 이야기를 풀어가기 위해 가상의 인물로 설정한 인물의 이름도 김민석으로, 나와 동일시하기 쉬웠다. 사실 이 인물은 나와 별로 비슷하지 않다. 대기업에 다니며 자식은 둘이고, 맞벌이로 나름 수입도 꽤 괜찮으니, 나랑 많이 다르다... -.-; 하지만, 노후에 대해 별로 생각과 관심이 없었다는 게 닮아있..

개념 설명에 이어지는 기본문제들...

오늘은 집합의 다음으로, 수에 관한 첫번째 단원인 자연수의 성질이다. 이 단원은 이미 초등학교에서 상당부분을 학습하고 중학교로 오게 되는데, 중학교에서는 조금 더 세련된 내용을 배우는 것 뿐이다. 하지만, 간과할 수 없는 것이, 이 단원의 내용을 제대로 공부하지 않으면 고등학교에서 배우는 다항식의 약수와 배수 개념에서 어려움을 겪을 수 있게 되니, 주의를 기울여야 한다. 그다지 어렵지 않은 내용이니 조금만 관심을 갖고 학습하면 누구나 잘 할 수 있으리라 본다.

2013년 작성. 학교 다니며 수없이 들었던 말. “예습과 복습만 철저히 하면 누구나 공부를 잘할 수 있다.”라는 말일 것이다. 누구나 이 말의 중요성과 의미를 잘 알 것이다. 하지만 누구나 잘 지키진 못했을 것이다. 그만큼 어려운 일이니까. 필자도 학교를 다니면서, 공부를 하면서, 아이들을 가르치면서 경험한 바에 의하면 위의 말은 진리라고 생각한다. 그러나 세상의 모든 진리가 개개인에게 가까이 다가오지 않는다는 것 역시 진리다. 그래서 필자는 위의 말을 살짝 비틀어서 아이들에게 제안을 한다. “ 얘들아. 솔직히 예습과 복습을 잘하면 공부를 잘할 수 있다는 것은 널리 알려진 사실이지 않니? 하지만, 그게 쉽지 않다는 것, 아니 무척 어렵다는 것도 알고 말이야. 물론, 공부가 쉽다는 말은 아니지만, 그래도..

부제 : 한 사람이 세상을 바꾸는 생각의 전염력 한 달이 넘도록 독서록을 올리지 못했다. 책을 게을리 읽은 것이 가장 큰 이유가 된다. 일산 대진 고등학교에 알바를 나가기 시작하면서부터 이런 저런 이유로 게을렀던 거 같다. 반성의 마음가짐을 가져야겠다. 핑계는 핑계일 뿐. 이 책은 제목이 독특하여 흥미를 갖고 선택했다. 우선 제목의 듯을 찾아보니, 남아프리카 공화국에서 유래된 말로, 인간미 혹은 공유정신, 공동체 정신이라고 되어 있다. 미국식 발음으로는 유분투라고 하는 듯하다. 어쨌든, 책 전반의 내용으로 보아 공유정신으로 해석하는 게 맞을 듯한데, 딱 들어맞는 해석은 아닌 거 같다. 이 책은 책의 부제에서도 표현했듯이, 생각의 전염이 엄청나게 강력하다는 것을 설명하고 있다. 그 생각이 긍정적이든, 부정..

이번엔 집합의 마지막 Step 3. Level Up 파트이다. 이번에도 인쇄 가능한 한글 배포용 문서를 첨부했다. 문제를 살펴보면 알 수 있지만, 사실 최상급 문제는 아니고, 약간의 중상급 문제들로 구성되어 있다. 말 그대로, 기본문제를 다 이해한 후, 아주 조금 단계를 높인 정도의 문제들이다. 상황에 따라 Skip 해도 크게 문제될 것은 없다. 이 책의 목적은 과정의 마스터에 있는 것이 아니다. 다만 계통학습을 위한 목적에 부합될 것이고, 약간의 선행학습에 맞는 책이다. 그리고 무엇보다도 앞선 학년의 학생들이 지난 과정을 빠르게 복습하고자 할 때 매우 유용한 책이 될 것이다. 예를 들어 중학교 때 공부를 많이 안 한 친구가 고등학생이 되어서 마음먹고 수학공부를 하려할 때 실로 많은 어려움이 닥쳐온다. ..